Hier befasse ich mich mit den fünf platonischen Körpern, geometrischen Körpern voller Harmonie.
Warum Harmonie? Alle Flächen sind gleich, alle Flächen stehen im gleichen Winkel zueinander. Alle Ecken und alle Kanten sind gleich und alle Eckenwinkel und alle Kantenwinkel sind gleich, alle Flächen sind gleichseitig und gleichwinklig. Alle Ecken haben denselben Abstand vom Mittelpunkt.
Es gibt noch viel mehr dieser faszinierenden Eigenschaften.
Auch aus der Sicht des Schmiedens, also der plastischen Verformung ein spannendes Thema:
Ich glühe einen Barren Feinsilber und schmiede kräftig damit das Material geschmeidig wird.
Dabei stauche ich das Silber damit es gleich eine kompaktere Form bekommt.
Zunächst schmiede ich einen möglichst ebenmäßigen Würfel.
Der Würfel, auch Hexaeder, ist einer der platonischen Körper:
Er hat 6 quadratischen Flächen, 8 Ecken und 12 Kanten.
Dieser Würfel aus Feinsilber hat bei einer Kantenlänge von 27 mm ein Gewicht von ca. 200 g!
Damit ich beim Weiterschmieden den Überblick über die neu entstehenden Flächen nicht verliere zeichne ich Hilfslinien auf die sechs Flächen des Würfels.
Hier schlage ich auf die Ecken wodurch 8 gleichseitigen Dreiecke gebildet werden.
Die Quadrate werden dadurch an den Ecken überschnitten. Diese Flächen werden wieder zu Quadraten aber durch die Überschneidungen werden diese kleiner und um 45° verdreht.
Meine Hilfslinien sind nun deren Diagonalen.
Übrigens, wenn ich so weiterschmiede bis die 8 gleichseitigen Dreiecke sich wiederum überschneiden, also bis die Ecken (des Würfels) zu Flächen und die Flächen zu Ecken werden, entsteht ein Oktaeder.
Die Mathematiker sagen dual: Hexaeder und Oktaeder sind zueinander duale Körper.
Das Oktaeder, der Achtflächner, hat 8 gleichseitige dreieckige Flächen, 6 Ecken und 12 Kanten. Dieses Exemplar, das ein Kilo auf die Waage bringt, ist aus einem Barren Feinsilber geschmiedet. Es hat hat eine Kantenlänge von 59 mm.
Zurück zu meinem Würfel mit eingedrückten Ecken. Dieser Körper hat übrigens einen Namen: Das Kuboktaeder. Man kann es auch genausogut als Oktaeder mit eingedrückten Ecken sehen, die dann zu Quadraten werden.
Das Kuboktaeder hat 8 gleichseitige dreieckige und 6 quadratische Flächen, macht zusammen 14 Flächen.
Die sechs quadratischen Flächen schlage ich jetzt jeweils an zwei ihrer diagonal gegenüberliegenden Ecken so schräg ein dass aus je einem Quadrat 2 Dreiecke entstehen.
8 Dreiecke hatte der Kuboktaeder schon und aus seinen 6 Quadraten habe ich 12 Dreiecke geschmiedet. Der neue Körper besteht nun also aus 20 Dreiecken. Man kann noch gut die Hilfslinien des ehemaligen Würfels erkennen, die die Quadrate mittig geteilt haben. Jetzt liegen Sie auf den Kanten der Dreiecke.
Das ist das Ikosaeder.
Der Zwanzigflächner hat 20 gleichseitige dreieckige Flächen, 12 Ecken und 30 Kanten. Stehen alle Flächen im gleichen Winkel zueinander, so sind alle Kanten, alle Eckenwinkel und alle Kantenwinkel gleich, alle Flächen sind gleichseitig und gleichwinklig ec.ec.
Was passiert jetzt, wenn ich dem Ikosaeder die Ecken einschlage? Sie ahnen es!
Ein Fußball! Der Fussball besteht aus 12 Fünfecken und 30 Sechsecken aus Leder. Die sich durch den Luftdruck nach aussen wölben und so eine Kugel bilden.
Aber nur wenn weiches Leder verwendet wird und die Flächen durch Luftdruck gewölbt sind. Das Objekt in Silber auf dem Bild nennt sich „abgestumpftes Ikosaeder“, und ist ein archimedischer Körper.
Auch die nächste Stufe beim Schmieden ist ein archimedischer Körper, der „Ikosidodekaeder“
Schmiede ich jetzt wieder so weiter dass die Ecken Flächen und die Flächen Ecken werden entsteht ein Körper aus 12 regelmässigen Fünfecken, mit 20 Ecken und 30 Kanten.
Das ist dann das Pentagondodekaeder (Fünfeck-Zwölf-Flächner) hier kurz Dodekaeder. Auch das Ikosaeder und das Dodekaeder sind zueinander duale Körper.
Der Würfel ist über Hilfslinien auch noch da zu erkennen.
Nun sind während des Schmiedeprozesses vier der fünf platonischen Körper entstanden.
Es fehlt noch das Tetraeder. Hier habe ich auf den Würfel so ein Tetraeder gemalt als wäre der Würfel durchsichtig.
Das Tetraeder ist ein Sonderfall. Es hat nur 4 (gleichseitige dreieckige) Flächen, genauso viele Ecken, nämlich 4 und 6 Kanten. Sein dualer Körper ist auch ein Tetraeder (drückt man die Ecken ein, so dass die Ecken Flächen und die Flächen Ecken werden, bildet sich wieder ein Tetraeder).
Als platonischer Körper ist der Vierflächner eigentlich nicht ohne entsprechendes Gesenk schmiedbar, da er keine 2 gegenüberliegenden Flächen hat. Ich habe es trotzdem geschmiedet.
Hier ein Bild des Exemplars auch aus Feinsilber mit einem Gewicht von 133 g und einer Kantenlänge von 48 mm.
Dies war ein kleiner Einblick in die fünf platonischen Körper aus Sicht der plastischen Verformung. Weitere faszinierende Eigenschaften können Sie auf dieser fantastischen Webseite entdecken: www.mathematische-basteleien.de